09.29.07:20
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06.21.14:13
電子回路のお勉強その１ ウィーンブリッジ発振回路 理論編
さて、理論編です。
前回のとおりこのウィーンブリッジ発振回路は２つのパートからなると書きました。
まずは発振回路の仕組みからですかね。この辺は自分もさっぱりなので感覚だけでもつかめればいいと思っています。
この回路において定義をします。
： 増幅率 何倍に増幅するかを表す。もちろん増幅器で増幅される
： 帰還率 帰還回路で何倍の値を帰還させるか
例えば増幅率 が3（３倍に増幅）で帰還率 が 0.5（増幅した信号の半分を帰還）として最初の入力を１として考えましょう。
１ → 増幅(1*3) = 3 → 帰還(3*0.5) = 1.5 → 増幅(1.5 * 3) = 4.5 →
→ 帰還(4.5 * 0.5) = 2.25 → 増幅(2.25 * 3) = 6.75 ......
というようにだんだんと大きくなっていき飽和します。
つまり
： 飽和
： 減衰
ということが分かります。
では
のときはどうなるか
増幅率 が4で帰還率 が 0.25で考えてみましょう
１ → 増幅(1*4) = 4 → 帰還(4*0.25) = 1 → 増幅(1*4) = 4 →
→ 帰還(4 * 0.25) = 1 ......
同じ信号を永遠と繰り返すことが出ます。
つまりこれが発振です。
同じ信号といいましたがこれは帰還回路で決めることができます。帰還回路がフィルターになるわけです。
また入力信号と同位相のものを帰還させることを正帰還、逆位相のものを帰還させることを負帰還といいます。ウィーンブリッジ発振回路では正帰還を使います。
では実際の回路と見比べながらどこが増幅器で、どこが帰還回路に該当するか見てみましょう。
このように増幅した信号を帰還しています。
前回の例では増幅率 3、帰還率 1/3でやっていました。
もちろん増幅率、帰還率は部品定数によって決まるので求めてみましょう。
１．増幅率を求める
まずは増幅率です。
この増幅器は非反転増幅回路というものでそこだけ取り出すと次のような回路です。
それでは求めていきましょう。
オペアンプの特性から次の式が成り立ちます。
ここでの
は電圧増幅度といい（Ａとは別物）、それぞれのオペアンプに固有の値をとります。電圧増幅度はデータシートに値も載っていますが、ここでは理想オペアンプとして計算しています。
\:&space;+&space;\:&space;(Vin-)\}} "{\color{Gray} Vout = A\{(Vin+)\: + \: (Vin-)\}}")
（１式）
R1、R2で分圧しているので次の式も成り立ちます。
（２式）
回路図から
となっているので（１式）、（２式）は
} "{\color{Gray} Vo = \alpha(Vo \: - \:Vin-)}")
となります。（１式）へ（２式）を代入すると
} "{\color{Gray} Vo = \alpha(Vi \: - \: \frac{R_{3}}{R_{3}\:+\:R_{4}}Vo)}")
これを変形していきます
&space;=&space;\alpha*Vi} "{\color{Gray} Vo(1\:+\:\frac{\alpha*R_{3}}{R_{3}\:+\:R_{4}}) = \alpha*Vi}")
}{(R_{3}\:+\:R_{4})\:+\:\alpha*R_{3}}} "{\color{Gray} = \frac{\alpha*Vi(R_{3}\:+\:R_{4})}{(R_{3}\:+\:R_{4})\:+\:\alpha*R_{3}}}")
}{\frac{R_{3}\:+\:R_{4}}{\alpha}\:+\:R_{3}}} "{\color{Gray} = \frac{Vi(R_{3}\:+\:R_{4})}{\frac{R_{3}\:+\:R_{4}}{\alpha}\:+\:R_{3}}}")
オペアンプの理想としては無限大なので
}{\frac{R_{3}\:+\:R_{4}}{\alpha}\:+\:R_{3}}} "{\color{Gray} Vo = \lim_{\alpha\rightarrow \infty }\frac{Vi(R_{3}\:+\:R_{4})}{\frac{R_{3}\:+\:R_{4}}{\alpha}\:+\:R_{3}}}")
}{R_{3}}Vi} "{\color{Gray} Vo = \frac{(R_{3} \: + \:R_{4})}{R_{3}}Vi}")
こうしてやっと増幅度Ａが求まります。ViがVoに増幅されているわけですから
（式３）
R1とR2はもちろん正の数なのでＡは必ず１以上となることもわかります。
２．帰還率を求める
前回の回路図から帰還回路のみ取り出すと
緑の部分は
これが帰還回路であり、Viから入ってきた信号の帰還率だけVoへとだすものです。
まず青い枠で囲ったようにZ1とZ2のインピーダンスを求めます。
} "{\color{Gray} Z_{1} = R_{2} \: + \: (\frac{1}{j\omega C_{2}})}")
VoはZ1、Z2でViを分圧したものだから
帰還率βは
発振する条件は
だったのでそれぞれ代入すると
（式４）
（式４の左辺）について
\:+\:(R_{2}&space;+&space;\frac{1}{j&space;\omega&space;C_{2}})}{(\frac{R_{1}\times\frac{1}{j&space;\omega&space;C_{1}}}{R_{1}&space;\:&space;+&space;\:&space;\frac{1}{j&space;\omega&space;C_{1}}})}} "{\color{Gray} \frac{Z_{1}\:+\:Z_{2}}{Z_{2}} = \frac{(\frac{R_{1}\times\frac{1}{j \omega C_{1}}}{R_{1} \: + \: \frac{1}{j \omega C_{1}}})\:+\:(R_{2} + \frac{1}{j \omega C_{2}})}{(\frac{R_{1}\times\frac{1}{j \omega C_{1}}}{R_{1} \: + \: \frac{1}{j \omega C_{1}}})}}")
\:+\:(R_{2}&space;+&space;\frac{1}{j&space;\omega&space;C_{2}})}{\frac{R_{1}}{j&space;\omega&space;C_{1}R_{1}&space;\:&space;+&space;\:&space;1}}} "{\color{Gray} = \frac{(\frac{R_{1}}{j \omega C_{1}R_{1} \: + \: 1})\:+\:(R_{2} + \frac{1}{j \omega C_{2}})}{\frac{R_{1}}{j \omega C_{1}R_{1} \: + \: 1}}}")
分子分母にjωC2をかけて
\:+\:(j&space;\omega&space;C_{2}R_{2}&space;+&space;1)}{\frac{j&space;\omega&space;C_{2}R_{1}}{j&space;\omega&space;C_{1}R_{1}&space;\:&space;+&space;\:&space;1}}} "{\color{Gray} = \frac{(\frac{j \omega C_{2}R_{1}}{j \omega C_{1}R_{1} \: + \: 1})\:+\:(j \omega C_{2}R_{2} + 1)}{\frac{j \omega C_{2}R_{1}}{j \omega C_{1}R_{1} \: + \: 1}}}")
分母分子にjωC1R1＋1をかけて
&space;+&space;(jwC_{2}R_{2}+1)(jwC_{1}R_{1}&space;+&space;1)}{jwC_{2}R_{1}}&space;} "{\color{Gray}= \frac{(jwC_{2}R_{1}) + (jwC_{2}R_{2}+1)(jwC_{1}R_{1} + 1)}{jwC_{2}R_{1}} }")
分子の展開をして
+&space;(-\omega^2C_{1}C_{2}R_{1}R_{2})+(j&space;\omega&space;C_{2}R_{2})}{j&space;\omega&space;C_{2}R_{1}}} "{\color{Gray} = \frac{(j \omega C_{2}R_{1})+ (-\omega^2C_{1}C_{2}R_{1}R_{2})+(j \omega C_{2}R_{2})+ (j \omega C_{1}R_{1})}{j \omega C_{2}R_{1}}}")
}{j&space;\omega&space;C_{2}R_{1}}} "{\color{Gray} + \frac{(j \omega C_{1}R_{1}+1)}{j \omega C_{2}R_{1}}}")
} "{\color{Gray} = 1\:+\:\frac{R_{2}}{R_{1}}\:+\:\frac{C_{1}}{C_{2}}\:-j(\frac{1\:-\:\omega^2 C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}{\omega C_{2}R_{1}})}")
（式４）へ代入すると
} "{\color{Gray} \frac{R_{3}+R_{4}}{R_{4}} = 1\:+\:\frac{R_{2}}{R_{1}}\:+\:\frac{C_{1}}{C_{2}}\:-j(\frac{1\:-\:\omega^2 C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}{\omega C_{2}R_{1}})}")
両辺がイコールとして成立するには左辺が実数なので右辺も実数でないといけません。よって虚部は０です。
また別の考え方として左辺は帰還するときの信号を表す式に使われていたので、増幅された信号（実数→位相０）と位相が同じでないといけない、つまり位相０でないといけないので虚部は０です。
実際０になるのは正弦波のみです。普通の信号、つまりいろんな周波数の混ざった信号の場合、信号が同位相の周波数成分（虚部が０に近くなるような値）のみ増幅される結果となります。これは虚部がω以外すべて定数で虚部はωによって決まるからです。
信号は多種多様な正弦波から足し合わせてできていると考えることができるのである周波数だけの信号を取り出すことで正弦波が出力されます。
（発振条件その１）
虚部は０でないといけないという条件から
よって
ω＝２πｆより
（発振条件その２）
すごく長くなってしまいましたが、この２つの条件がそろうとき発振が起こります。
なので部品定数は出力したい周波数をきめればもとめることができます。
<参考文献>
・アナログ回路の基礎
・ウィーンブリッジ発振回路の動作原理
・オペアンプの基礎と応用
前回のとおりこのウィーンブリッジ発振回路は２つのパートからなると書きました。
まずは発振回路の仕組みからですかね。この辺は自分もさっぱりなので感覚だけでもつかめればいいと思っています。
この回路において定義をします。
例えば増幅率
１ → 増幅(1*3) = 3 → 帰還(3*0.5) = 1.5 → 増幅(1.5 * 3) = 4.5 →
→ 帰還(4.5 * 0.5) = 2.25 → 増幅(2.25 * 3) = 6.75 ......
というようにだんだんと大きくなっていき飽和します。
つまり
ということが分かります。
では
のときはどうなるか
増幅率
１ → 増幅(1*4) = 4 → 帰還(4*0.25) = 1 → 増幅(1*4) = 4 →
→ 帰還(4 * 0.25) = 1 ......
同じ信号を永遠と繰り返すことが出ます。
つまりこれが発振です。
同じ信号といいましたがこれは帰還回路で決めることができます。帰還回路がフィルターになるわけです。
また入力信号と同位相のものを帰還させることを正帰還、逆位相のものを帰還させることを負帰還といいます。ウィーンブリッジ発振回路では正帰還を使います。
では実際の回路と見比べながらどこが増幅器で、どこが帰還回路に該当するか見てみましょう。
このように増幅した信号を帰還しています。
前回の例では増幅率 3、帰還率 1/3でやっていました。
もちろん増幅率、帰還率は部品定数によって決まるので求めてみましょう。
１．増幅率を求める
まずは増幅率です。
この増幅器は非反転増幅回路というものでそこだけ取り出すと次のような回路です。
それでは求めていきましょう。
オペアンプの特性から次の式が成り立ちます。
ここでの
（１式）
R1、R2で分圧しているので次の式も成り立ちます。
（２式）
回路図から
となっているので（１式）、（２式）は
となります。（１式）へ（２式）を代入すると
これを変形していきます
オペアンプの理想として
こうしてやっと増幅度Ａが求まります。ViがVoに増幅されているわけですから
（式３）
R1とR2はもちろん正の数なのでＡは必ず１以上となることもわかります。
２．帰還率を求める
前回の回路図から帰還回路のみ取り出すと
緑の部分は
これが帰還回路であり、Viから入ってきた信号の帰還率だけVoへとだすものです。
まず青い枠で囲ったようにZ1とZ2のインピーダンスを求めます。
VoはZ1、Z2でViを分圧したものだから
帰還率βは
発振する条件は
だったのでそれぞれ代入すると
（式４の左辺）について
分子分母にjωC2をかけて
分母分子にjωC1R1＋1をかけて
分子の展開をして
（式４）へ代入すると
両辺がイコールとして成立するには左辺が実数なので右辺も実数でないといけません。よって虚部は０です。
また別の考え方として左辺は帰還するときの信号を表す式に使われていたので、増幅された信号（実数→位相０）と位相が同じでないといけない、つまり位相０でないといけないので虚部は０です。
実際０になるのは正弦波のみです。普通の信号、つまりいろんな周波数の混ざった信号の場合、信号が同位相の周波数成分（虚部が０に近くなるような値）のみ増幅される結果となります。これは虚部がω以外すべて定数で虚部はωによって決まるからです。
信号は多種多様な正弦波から足し合わせてできていると考えることができるのである周波数だけの信号を取り出すことで正弦波が出力されます。
虚部は０でないといけないという条件から
よって
ω＝２πｆより
すごく長くなってしまいましたが、この２つの条件がそろうとき発振が起こります。
なので部品定数は出力したい周波数をきめればもとめることができます。
<参考文献>
・アナログ回路の基礎
・ウィーンブリッジ発振回路の動作原理
・オペアンプの基礎と応用
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06.19.20:01
電子回路のお勉強その１ ウィーンブリッジ発振回路 実践編
今回やる実験はウィーンブリッジ発振回路の作成。
こいつは正弦波を出力してくれる。なんでこれをつくろうと思ったかというと後々に回路の応答を見るのに使えそうだから。
というわけで回路図
オペアンプ : UA741（汎用オペアンプ オペアンプが使われだしたころからあるらしい）
R1 : 10K
R2 : 1K
R3 : 0 ～ 10K（理想値は R4 * 2）
R4 : 4.7K
C1 : 0.1uF
C2 : 0.1uF
この回路では２つの区画に分かれていてそれぞれが役割をはたしているらしいです。
一つ目が 「バンドパスフィルタ」 特定の周波数のみ通します。
これはみかん大学の某電気回路Ⅰの知識で確認くらいはできそうです。
２つ目が「非反転増幅回路」 その名の通り反転させずに増幅します。
オペアンプの基本回路っぽいです。
今回は理論はせずに実際に作ってみて終わりとします。理論は次の回にでもします。
作ってみた結果の出力（上が増幅後、下が増幅前）
んんんーこれは正弦波とはいいにくですね。
発振条件と出力正弦波の周波数を計算しつつ部品定数を決めてもきれいな正弦波にはなりませんでした。
あとオペアンプになれてないけぇ電源からつまづいたｗｗ
単電源オペアンプもあるらしいけどUA741は両電源オペアンプというらしく +Vcc と -Vcc がある。
なので +Vcc に5V、 -Vccに0Vではだめで抵抗で分圧するなどして +2.5Vと-2.5Vを与えてあげないといけない。
これに気づくまで１時間はとられたわｗｗ
<<追記 2014.1/7>>
上の波形はオシロ当てるとこ間違ってました。
本当はきれいな正弦波が出力されていました。
次回は理論編かな
こいつは正弦波を出力してくれる。なんでこれをつくろうと思ったかというと後々に回路の応答を見るのに使えそうだから。
というわけで回路図
オペアンプ : UA741（汎用オペアンプ オペアンプが使われだしたころからあるらしい）
R1 : 10K
R2 : 1K
R3 : 0 ～ 10K（理想値は R4 * 2）
R4 : 4.7K
C1 : 0.1uF
C2 : 0.1uF
この回路では２つの区画に分かれていてそれぞれが役割をはたしているらしいです。
一つ目が 「バンドパスフィルタ」 特定の周波数のみ通します。
これはみかん大学の某電気回路Ⅰの知識で確認くらいはできそうです。
２つ目が「非反転増幅回路」 その名の通り反転させずに増幅します。
オペアンプの基本回路っぽいです。
今回は理論はせずに実際に作ってみて終わりとします。理論は次の回にでもします。
作ってみた結果の出力（上が増幅後、下が増幅前）
んんんーこれは正弦波とはいいにくですね。
発振条件と出力正弦波の周波数を計算しつつ部品定数を決めてもきれいな正弦波にはなりませんでした。
あとオペアンプになれてないけぇ電源からつまづいたｗｗ
単電源オペアンプもあるらしいけどUA741は両電源オペアンプというらしく +Vcc と -Vcc がある。
なので +Vcc に5V、 -Vccに0Vではだめで抵抗で分圧するなどして +2.5Vと-2.5Vを与えてあげないといけない。
これに気づくまで１時間はとられたわｗｗ
<<追記 2014.1/7>>
上の波形はオシロ当てるとこ間違ってました。
本当はきれいな正弦波が出力されていました。
次回は理論編かな